本日我来讲一讲什么是完满数。什么是完满数呢？完满数就是一个数。他的真因数之和。加起来能酿成他。这就是完满数。就好比说数字六。究竟他看起来也不怎么完满。为什么就不能是5大概10呢？由于六有两个因数。2×3。和1×6。但是呢，1×6内里有一个自己。要把这个六减掉。那就酿成了1+2+3。所以说呢，如许的话六就是一个完满数了。没事第一个完满数如许不消担心。说不定下一个就是你心中所想的。优美下一个数字是28。不是你们大概会说这到底是什么东西啊？为什么每一个不能是26呢？好歹各位的一样。但是实际就是如许。每一个位数越大的完满数呢，花的时间越多。就导致许多科学家都由于探求完满数度过的一生。而这一生实在也并没有浪费。
35为什么要找完满数呢？实在我个人以为是为了好玩。究竟完满数这个概念只是一个界说，并没有什么实际的用途。所以我以为花这么多精神和时间探求完满数没有很大的意义。那我们到底为什么要探求完满数呢？
完满数又称完全数或完备数，是一些特别的天然数。
它全部的真因子，即除了自身以外的约数的和，即因子函数，恰恰便是它自己，假如一个数恰恰便是它的因子之和，则称该数为“完全数”，公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全数。
完满数是非常希罕的，最小的完全数是6，接下来是28，由于两位数中的完全数有且只有28，而在三位数中仅有496是完满数，以后越来越希罕。数学家笛卡尔曾公开预言：“完满数是不会多的，好比人类一样，要找一个完满的人亦非易事。”就像这上面所说的，我们的完满数拿非常的希罕。就像一个好的人一样。我们探求他的目的也像我们探求一个人一样。
本日我在这边所说的，是这三位数之后有完满数，各人都推测四位数中有一个完满说，但实际上并不是如许的下一个完满数是一个八位数的我忘了他具体是多少，但是只知道非常的大而我们所现在相识的完满数能通过许多先辈的算法，我们拥有了许多高科技的东西，现在我们得出的完满数最高可以到十几万个一个人要写他的话，不吃不喝不睡，至少得写一个月呢？真的特别的大。
所以说完满数这种东西不太得当我们探求，但是我们须要知道为什么我们要探求完满数又是什么缘故起因，我们为什么要去探求？找到这些答案之后我们再来评价完满数到底是不是和探求该不应探求为什么要去探求吧？
公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯起首发现，有的天然数，具有一种奇特的性子：把它全部的除数（自己不包罗在内）加起来，恰好便是这个天然数自己。比方，6的除数有1、2、3（6不包罗在内），且有 6=1+2+3。又如，28的全部的除数为1、2、4、7、14（28不包罗在内），且有28=1+2+4+7+14。像如许的数，我们就称之为“完全数”（“完数”）。“完数”这个名称具有秘密的色彩，意思是“完满的数”。
毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻以及康健和美丽，由于它的部门是完整的，并且其和便是自身。”有些《圣经》解释家以为6和28是天主创造天下时所用的根本数字，由于天主创造天下花了六天，二十八天则是玉轮绕地球一周的日数。圣奥古斯丁说：6这个数自己就是完全的，并不由于天主造物用了六天；究竟上，由于这个数是一个完全数，所以天主在六天之内把统统事物都造好了。
在中国文化里：有六谷、六畜、战国时期的六国、秦始皇以六为国数、六常（仁、义、礼、智、信、孝）、天上四方有二十八宿等等，6和28，在中国汗青长河中，之所以熠熠生辉，是由于它是一个完全数。难怪有的学者说，中国发现完全数比西方还早呢。
完全数诞生后，吸引着浩繁数学家与业余爱好者像淘金一样去探求。它好久以来就不绝对数学家和业余爱好者有着一种特别的吸引力，他们没完没了地找寻这一类数字。接下去的两个完数看来是公元1世纪，毕达哥拉斯学派成员尼克马修斯发现的，他在其《数论》一书中有一段话如下：大概是如许，正如美的、卓绝的东西是罕见的，是容易计数的，而丑的、坏的东西却滋蔓不已；是以盈数和亏数非常之多，乱七八糟，它们的发现也毫无体系。
但是完全数则易于计数，而且又顺理成章：由于在个位数里只有一个6；十位数里也只有一个28；第三个在百位数的深处，是496；第四个却在千位数的尾巴颈部上，是8128。它们具有划一的特性：尾数都是6或8，而且永世是偶数。但在茫茫数海中，第五个完全数要大得多，居然藏在千万位数的深处！它是33550336，它的寻求之路也更加空中楼阁，直到十五世纪才由一位无名氏给出。这一探求完全数的积极从来没有制止。
17世纪，法国数学家、哲学家、物理学家笛卡尔曾经公开预言：“能找出完满数是不会多的，好比人类一样，要找一个完满人亦非易事。”汗青也证实了他的预言。完满数希罕而精美，所以被人们称为“数论宝库中的‘钻石’”。
同时，也发现完全数有许多奥妙的性子，比方存在一种完全数，就会相应地存在一种把1表现成不同单元分数之和的表达式。好比有完全数6，就有下面的1的单元分数之和的表达式：
同样，有完全数28，就有下面的1的单元分数之和的另一种表达式：
这很好明白。只要把完全数的表达式双方同时除以完全数即可。所以，从完全数的表达式
496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248出发，把它的双方同时除以496，就可以得出：2）全部的完全数的倒数都是调和数。比方：1/1+1/2+1/3+1/6=2；1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2；1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2。
（3）可以表现成一连奇立方数之和。除6以外的完全数，都可以表现成一连奇立方数之和，并规律式增长。比方：28=1+3^3；496=1^3+3^3+5^3+7^3；8128=1^3+3^3+5^3+……+15^3；33550336=1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^3。
（4）都可以表达为2的一些一连正整数次幂之和。不光云云，而且它们的数量为一连质数。比方：6=2^1+2^2；28=2^2+2^3+2^4；496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8；8128=2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^12；33550336=2^12+2^13+……+2^24。
（5）完全数都是以6或8结尾。假如以8结尾，那么就肯定是以28结尾。（科学家仍未发现由其他数字结尾的完全数。）
（6）各位数字辗转式相加个位数是1。除6以外的完全数，把它的各位数字相加，直到酿成个位数，那么这个个位数肯定是1。比方：28：2+8=10，1+0=1；496：4+9+6=19，1+9=10，1+0=1；8128：8+1+2+8=19，1+9=10，1+0=1；33550336:3+3+5+5+0+3+6=28,2+8=10,1+0=1。
（7）它们被3除余1、被9除余1、1/2被27除余1。除6以外的完全数，它们被3除余1，9除余1，另有1/2被27除余1。28/3 商9余1，28/9 商3余1，28/27 商1余1。496/3 商165余1，496/9 商55余1。8128/3 商2709余1，8128/9 商903余1，8128/27 商301余1。
1946年，人们开始使用盘算机找完全数，人们借助这一有力的工具继承探索。笛卡尔曾公开预言：“能找出完全数是不会多的，好比人类一样，要找一个完满人亦非易事。”时至本日，人们不绝没有发现有奇完全数的存在。于是是否存在奇完全数成为数论中的一浩劫题。只知道即便有，这个数也是非常之大，并且须要满足一系列苛刻的条件。
2001年11月11日，数学家找到了第39个完全数： 它有8107891位.
到2013年2月6日为止，一共只找到了48个完全数.在无穷的天然数中，到底有多少个完全数？
现在已找出的48个完全数均为偶数，是否存在奇完全数？假如存在，它必须大于10^300。至今无人能回答这些题目。尽管没有发现奇完全数，但当代数学家奥斯丁欧尔证实，如有奇完全数，则其情势一定是12^p+1或36^p+9的情势，此中p是素数。在10^300以下的天然数中奇完全数是不存在的。
在探寻完全数的过程中，另有如许一段轶事：1936年美国团结通讯社播发了一条消息，《纽约先驱论坛报》报道说：“S.I.克利格(Kireger)博士发现了一个155位的完全数 ，该数的各位数字依次是：26815615859885194199148049996411692254958731641184786755447122887443528060146978161514511280138383284395055028465118831722842125059853682308859384882528256.
这位博士说，为了证实它确为完全数，足足奋斗了五年之久.”实际上在两千多年前，欧几里德就已经告诉各人是完全数 ，此中n是正整数，后经欧拉严酷证实，欧几里德的公式是准确的.所以对那些数学狂热者应当心，自己发现的大概是块“旧大陆”，并非新效果.
更惊喜的是，假如一个正整数全部因子（包罗它自己）之和便是这个数的某个整数倍，我们就称这个数为多完全数。如120全部因子为
1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120。
这些因子之和为360，360恰好是120的三倍。所以，120是一个多完全数，而倍数3称为这个完全数的指标。多完全数规律性比完全数差，难以找到肯定的公式，只有用盘算机来探求较大的多完全数。
已往，人们竭尽尽力只找到大约700个多完全数，此中最大的具有“指标”8。近来美国科罗拉多州的数学家弗雷德海仑尼乌斯体例了一套盘算机步调，将多完全数的个数扩大到了1288个。此中包罗14个天文数字的大数，它们的“指标”为9，而最大的数有588位。
据理论研究，对于每一个“指标”，只有有限多个多完全数。 “指标”为3的多完全数只有6个； “指标”为4的多完全数只有36个； “指标”为5的多完全数只有65个。然而“指标”为8的多完全数，已经知道的就有400多个，它们险些都是海仑尼乌斯发现的。
1644年法国数学家梅森在其所著的《物理数学随感》一书中指出，庞格斯给出的28个“完满数”中，只有8个是准确的，即当P=2、3、5、7、13、17、19和31时，2^(P-1)(2^P-1)是完满数，同时又增长了P=67、P=127和P=257。在未证实的环境下他果断地说：当P≤257时，只有这11个完满数。这就是著名的“梅森推测”。
“梅森推测”吸引了许多人的研究，德国数学家莱布尼兹和哥德巴赫都以为是对的；他们低估了完满数的难度。1730年9月，被称为天下四大数学家雄狮之一的欧拉，时年23岁，正值风华繁茂。他脱手非凡，给出了一个精彩的定理：“每一个偶完满数都是形如2^(P-1)(2^P-1)的天然数，此中P是素数，2^P-1也是素数”，并给出了证实。这是欧几里得定理的逆定理。有了欧几里得和欧拉两个互逆定理，公式2^(P-1)(2^P-1)就成为判定一个偶数是不是完满数的充要条件了。
欧拉研究“梅森推测”后指出：“我冒险断言：每一个小于50的素数，以致小于100的素数使2^(P-1)(2^P-1)是完满数的仅有P取2、3、5、7、13、17、19、31、41和47，我从一个精美的定理出发得到了这些效果，我自大它们具有真实性。”
1772年欧拉因太过搏命工作双目已经失明白，但他仍未制止探究；他在致瑞士数学家丹尼尔的一封信中说：“我已经默算证实P=31时，2^30(2^31-1)是第8个完满数。”他的刚强毅力息争题技巧令人惊叹不已。同时，他发现自己已往以为P=41和P=47时是完满数是错误的。欧拉定理和他发现的第8个完满数的方法，使完满数的探究发生了深刻变革，但是人们仍不能彻底办理“梅森推测”。
1876年法国数学家鲁卡斯创建了一种查验素数的新方法，证实P=127时确实是一个完满数，这使“梅森推测”之一酿成究竟；他的新方法给人们探究完满数带来了生机，同时也动摇了“梅森推测”，由于数学家借助他的新方法发现推测中P=67和P=257时不是完满数。在以后1883至1931年的48年间，数学家发现“梅森推测”中P≤257范围内遗漏了P=61、P=89和P=107时的3个完满数。
固然“梅森推测”中有错漏，但是梅森在17世纪的欧洲起了一个极不平常的头脑通道作用，在学民气目中有着崇高的职位。为了怀念他对科学的贡献，1897年在首届国际数学家大会上(2^P-1)型的素数被定名为“梅森素数”。可以说，只要找到梅森素数，就可以找到与其对应的完满数。
分布式盘算技能的出现使完满数的探究为虎傅翼。1996年初，美国盘算机专家沃特曼体例了一个梅森素数盘算步调，并把它放在网页上供数学家和业余数学爱好者免费使用。这就是举世著名的“互联网梅森素数大搜索”(GIMPS)项目，也是全天下第一个基于互联网的分布式盘算项目；该项目紧张使用大量平凡盘算机的闲置处理处罚本领来得到相称于超等盘算机的运算本领。美国盘算机专家库尔沃斯基于1997年创建了“素数网”(PrimeNet)，使分配搜索区间和向GIMPS发送陈诉自动化。人们只要从该项目下载开放源代码的Prime95或MPrime软件，就可以立刻探求梅森素数了。
为了鼓励人们探求梅森素数和促进网格技能的发展，总部设在美国的电子新范畴基金会(EFF)于1999年3月向全天下宣布了为通过GIMPS项目来探求梅森素数而设立的“协同盘算奖”。它规定向第一个找到高出100万位数的个人或机构颁发5万美元。背面的奖金依次为：高出1千万位数，10万美元；高出1亿位数，15万美元；高出10亿位数，25万美元。但是绝大多数研究者参与该项目并不是为了款项，而是出于好奇心、求知欲和荣誉感。
美国加州大学洛杉矶分校的盘算机专家史密斯于2008年起首找到高出1千万位的梅森素数——2^43112609-1，该数有12 978 189位。这一庞大效果被著名的《期间》杂志评为“2008年度50项最佳发明”之一。不外，史密斯是擅自使用学校的75台盘算机到场GIMPS项目的；原来这种活动应该被处罚，但鉴于他为学校争了光，反而受到了校方的表彰。前不久，他得到了EFF颁发的10万美元大奖及金牌一枚。
颠末确认，2017年12月26日，美国田纳西州的51岁联邦快递员、曾经干过电气工程师的Jonathan Pac发现了 第50个梅森素数，数值为2^77232917 -1，也就是2的77232917次方减1。 它是一个23249425位数 ，比2016年1月份发现的第49个梅森素数多了靠近100万位，可以写满9000页纸，1秒钟写1英寸(2.54厘米)长也要连写54天，整个数字长达37英里(59.5公里)，比第49个长了3英里(4.8公里)。 Jonathan Pac已经到场GIMPS项目（搜索梅森素数的分布式网络盘算）探求梅森素数高出14年， 这次使用自己的一台Core i5-6600电脑，一连运行了六天，才得到这个庞大发现 ，并由四个人在五个不同平台上使用四种不同算法举行了验证：
－ Aaron blosser，Intel Xeon服务器，Prime95，37小时。
－ David Stanfill，AMD RX Vega 64显卡，gpuOwL，34小时。
－ Andreas Hoglund，NVIDIA Titan Black显卡，CUDALucas，73小时；亚马逊AWS，Mlucas，65小时。
－ Ernst Mayer，32核心Xeon服务器，Mlucas，82小时。
Jonathan Pac为此得到了3万美元奖金。接下来假如谁第一个发现首个高出1亿位数的梅森素数，将得到15万美元奖金！10亿位数的会嘉奖25万美元！
现在天下上有192个国家和地域60多万人使用高出100万台盘算机参与GIMPS项目。迄今为止，人们通过该项目已经找到15个梅森素数，其发现者来自美国（9个）、德国（2个）、英国（1个）、法国（1个）、挪威（1个）和加拿大（1个）。也就是说，有15个完满数是通过GIMPS项目被发现的。举世间接探求新完满数的“数字游戏”仍在举行中。
值得一提的是，人们在探求完满数的同时，对梅森素数的紧张性子——分布规律的研究也不绝在举行着。从已发现的梅森素数来看，它在正整数中的分布时疏时密、极不规则，因此研究梅森素数的分布规律好像比探求新的完满数更为困难。
梅森素数在暗码学方面有匿伏的应用。现在人们已将大素数用于当代暗码筹划范畴（如公钥加密和数字署名），其原理是：将一个很大的数分解成多少素数的乘积非常困难，但将几个素数相乘却相对容易得多。在这种暗码筹划中，须要使用较大的素数，素数越大，暗码被破译的大概性就越小。它促进了网格技能的发展。而网格技能将是一项应用非常广阔、远景非常诱人的技能。别的，探寻梅森素数的方法还可用来测试盘算机硬件运算是否准确。
俗话说，“一叶知秋”、“滴水映海”。当我们追溯完满数探究历程之时，可以窥见其探究蕴含着数学家及数学爱好者的辛勤积极，正是由于他们的不懈奋斗，才取得了可喜的渴望，并创造了本日的光辉。不管有没有奇完满数，我们另有第二个未办理题目：偶完满数的聚集是有限的还是无穷的。大概这便是问，是否存在有限大概无穷多个梅森素数。
所以说呢，在我们的生存中并不存在有非常多的完满数，而我们的完满人也不是许多。所以我们肯定要做好自己让自己也是一个非常完满的人。
本日我的分享到此就竣事了下次呢，我也会来资助讨论一些新的数字。
哥德巴赫给欧拉的信（1742）
这是18世纪俄罗斯的一个夏夜。克里斯蒂安-哥德巴赫（ Christian Goldbach）正在给莱昂纳德-欧拉写一封信，提出一个数学意料。两个多世纪后，没有任何数学家可以或许证实或反驳这个意料，它仍旧没有得到办理。
哥德巴赫提出的意料是：
每一个可以写成两个素数之和的整数，也可以写成恣意多的素数之和，直到全部项都是单元1。
在这个意料中，他把1看成了素数。然后他在信的空缺处提出了第二个意料：
每个大于2的整数都可以写成三个素数之和。
欧拉是有史以来最巨大的数学家之一。数学中最美丽和第二美丽的方程都来自欧拉（Leonard Euler）。你可以在这里读到它们：
许多人真正爱上数学，是从欧拉公式开始的，它到底有怎样的魔力？
第二美丽的公式——欧拉多面体公式，打开了一个新的多少范畴
欧拉研究了哥德巴赫的意料，并于同年6月30日给他复书。哥德巴赫说，这两个意料中的第一个可以从下面的陈诉中得出：
每个正的偶数都可以写成两个素数之和
哥德巴赫意料的当代版本是：
每个大于2的偶数都可以写成两个素数之和。
这就是哥德巴赫意料，简单易懂，易于查验。纵然是大数，一个简单的盘算机代码也能查验出来。就像科拉茨意料一样，已经对大量的数字举行了查验，但没有找到反例。
从一个“简单”的数学困难中窥视数学的本质，数学没有止境
纵然是一个小数字，如2566，也有37对如许的质数。它们是：
17+2549, 23+2543, 89+2477, 107+2459, 149+2417, 167+2399, 173+2393, 227+2339, 233+2333, 257+2309, 269+2297, 293+2273, 353+2213, 359+2207, 467+2099, 479+2087, 503+2063, 563+2003, 569+1997, 587+1979, 593+1973, 617+1949, 653+1913, 659+1907, 677+1889, 719+1847, 743+1823, 857+1709, 929+1637, 947+1619, 953+1613, 983+1583, 1013+1553, 1193+1373, 1259+1307, 1277+1289, 1283+1283
我们可以从哥德巴赫分区中直观地看到全部偶数是由两个素数构成的。如下图所示，从2到47的质数可以构成最大94的偶数。
从4到96的偶数的哥德巴赫分区。
为了更好地明白这个意料，我们来谈谈素数。素数定理表明，假如随机选择一个整数m，它是素数的几率是1/ln(m)。
因此，假如n是一个大的偶数，m是3和n/2之间的数字，那么m和（n-m）同时是素数的概率将是：
通过开导式方法，将一个大的偶数n写成两个奇数素数之和的方法总数大约为
对哥德巴赫意料也有不同的图表。将一个偶数n写成两个素数之和（4≤n≤1,000）的方法有许多，可以做一个美丽的图。
将偶数n写成两个素数之和的方法（4≤n≤1,000）。
将一个偶数n写成两个素数之和的方法（4≤n≤1,000,000）。
可以看到，随着n的增长，将n写成两个素数之和的方法也在增长。
本日，"每个大于2的偶数都可以写成两个素数之和 "的说法是哥德巴赫意料的通常表达方式。这种情势也被称为 "强"、"偶 "或 "二进制 "哥德巴赫意料。另有一个 "弱 "哥德巴赫意料，即 "每个大于7的奇数都可以写成三个奇数之和"。它也被称为 "哥德巴赫弱意料"，"奇数哥德巴赫意料"，或 "三元哥德巴赫意料"。
奇数哥德巴赫意料的证实是由哈拉尔德-赫夫戈特在2013年给出的。
纵然过了这么多世纪，大概也没有人知道我们怎样证实或反驳这个意料。固然我们已经查验了非常多的数字，但仍旧大概有一些数字不遵照这个意料，只要有一个，这个意料就不成立了。
匈牙利数学家乔治-波利亚在1919年提出了一个反例：1.854×10^361，但在1958年被C.Brian Haselgrove证实是错误的。1742年提出至今，哥德巴赫意料（Goldbach's conjecture）已经困扰数学界长达三个世纪之久。作为数论范畴存在时间最久的未解困难之一，哥德巴赫意料俨然成为一面旌旗，鼓励着无数数学家向着真理的彼岸前行。
对不少人来说，知道哥德巴赫意料，离不开两个人，陈景润和徐迟。后者那篇著名的陈诉文学，让许多人知道了有位中国数学家，用了几大麻袋演算纸，将哥德巴赫意料的证实往前推进了一步。
但陈景润究竟在这个范畴取得了多大的渴望呢？让我们从哥德巴赫意料自己提及。
源起：素数引发的悬案
一个大于1的天然数，假如除了1与其自身外，无法被其他天然数整除，那么称这个天然数为素数（又称质数）；大于1的天然数若不是素数，则称之为合数。
本日故事的发端，就是这类被称为"素数"的数字。早在古埃及期间，人们好像就已经意识到了素数的存在[1]。而古希腊的数学家们很早就已经开始对素数举行体系化的研究。比方欧几里得在《多少本来》中就已经证实了无穷多个素数的存在[2]以及算术根本定理（即正整数的唯一分解定理，指出任何大于1的天然都可以唯一地写成多少个质数的乘积）[3]。而埃拉托斯特尼提出的筛法则为找出肯定范围内全部的素数提供了可行的思路[4]。
古希腊数学家、"多少学之父"欧几里得（左）与数学家、地理学家、天文学家埃拉托斯特尼（右）。前者在其著作《多少本来》中提出五大公设，成为欧洲数学的底子。后者筹划出了经纬度体系，并盘算出地球的直径。
埃拉托斯特尼筛法。筛法的原理非常简单，盘算者从2开始，将每个素数的倍数筛出，记作合数。埃拉托斯特尼筛法是列出全部小素数最有用的方法之一。
随着对素数明白的深入，素数的诸多奇特性子被人们发掘出来。1742年6月7日，普鲁士数学家克里斯蒂安·哥德巴赫在写给瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的信中，提到了自己有关素数的一个发现：任一大于2的整数都可以写成三个质数之和。值得一提的是，当时欧洲数学界约定1也是素数。所以换成当代的数学语言，即"任一大于5的整数都可写成三个质数之和"。
将偶数表现为两个素数的和。截至2012年4月，数学家已履历证了4乘以10的18次方以内的偶数，没有发现哥德巴赫意料的反例[5]。
哥德巴赫无法确认这一发现的普适性，所以他寄渴望于欧拉可以给出证实。欧拉在6月30日的复书中肯定了哥德巴赫的发现，并给 出了意料的等价版本:
任一大于2的偶数，都可表现成两个素数之和。
这也是现在哥德巴赫意料的通常表述方式，其亦称为"强哥德巴赫意料"或"关于偶数的哥德巴赫意料"。欧拉以为可以将这一意料视为定理，只惋惜他也无法给出意料的证实。
由"强哥德巴赫意料"，可以推出：
任一大于5的奇数都可写成三个素数之和。
这也称为"弱哥德巴赫意料"或"关于奇数的哥德巴赫意料"。当然假如"强哥德巴赫意料"可以被证实，"弱哥德巴赫意料"也就迎刃而解。
沉寂：难以逾越的高山
哥德巴赫意料的困难程度可以与任何一个已知的数学困难相比。
——戈弗雷·哈罗德·哈代
哥德巴赫意料不绝以来都深受业余数学爱好者的青睐，一个很紧张的缘故起因就是其表述非常简便易懂。然而意料的证实实际上是极为困难的。自1742年意料被正式提出后的160余年里，数学家苦苦探寻，都没有取得任何实质性的渴望，更多的只是提出一些等价的命题，大概是对意料举行数值验证。
1900年，著名数学家希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出的著名的二十三个题目，此中第八个题目就涉及三个有关素数的意料：黎曼意料、哥德巴赫意料和孪生素数意料。至今上述三个意料的研究固然较20世纪初已经有了长足的渴望，以致有弱化的环境已经被证实，但三个题目自己均仍未被办理。
到场学术聚会会议的希尔伯特。1900年，希尔伯特在巴黎举行的第二届国际数学家大会上作了题为《数学题目》的演讲，提出了23个最紧张的数学题目。希尔伯特题目在相称一段时间内引导了天下数学研究的方向，有力地推动了20世纪数学的发展。在许多数学家积极下，希尔伯特题目中的大多数在20世纪中得到了办理。
然而这长达160余年的探索并非毫无效果。由于欧拉、高斯、黎曼、狄利克雷、阿达马等数学家在数论与函数论范畴的突破性研究，为之后以哥德巴赫为代表的数论研究打下了坚固的底子。
突破：划破夜空的曙光
数学是科学中的皇后，而数论是数学中的皇后。
——卡尔·弗雷德里希·高斯
题目真正的实质性渴望出现在二十世纪20年代。当时出现了两种代表性的思路，一种是英国数学家哈代与李特尔伍德在1923年论文中使用的"哈代-李特尔伍德圆法"[6]，另一种是挪威数学家布朗（Viggo Brun）使用的"布朗筛法"[7,8]。哈代、李特尔伍德与布朗。哈代，英国数学家，二十世纪英国分析学派的代表人物，其研究对子女分析学和数论的发展有深刻的影响。李利特尔伍德，英国数学家，研究范畴涵盖数论和数学分析，与哈代有着长达35年的互助。布朗，挪威数学家，其在数论范畴的工作极大地推动了哥德巴赫意料和孪生素数意料等的研究。
借助上述方法，哈代和李特尔伍德在1923年的论文中证实了"在假设广义黎曼意料成立的前提下，每个充实大的奇数都能表现为三个素数的和以及险些每一个充实大的偶数都能表现成两个素数的和"[6]。这里的"广义黎曼意料"，指的是用狄利克雷L函数取代黎曼意料中的黎曼ζ函数，其他表述稳定。哈代和李特尔伍德的工作使哥德巴赫意料的证实向前迈进了一大步。
使用上述方法，布朗在1919年证实，"每个充实大的偶数都可以写成两个数之和，并且这两个数每个都是不高出9个素因数的乘积"[7]，所以上述结论也被记作"9+9"。按照布朗的思路，假如终极可以将素因数的个数缩减至1个，即终极证实"1+1"，那么也就意味着证实了哥德巴赫意料。
冲刺：鼓舞民气的军号
陈景润的每一项工作，都好像是在喜马拉雅山山巅上行走。
——安德烈·韦伊
上文提到的两种思路都在二十世纪都得到了极大的发展。这也极大地推动了哥德巴赫意料和弱哥德巴赫意料的证实工作。1937年苏联数学家维诺格拉多夫（Ivan Vinogradov）在对于弱哥德巴赫意料研究中取得了庞大的突破[10]。他在圆法的底子上，去掉了哈代和李特尔伍德证实中对于广义黎曼意料的依靠，完全证实了"充实大的奇素数都能写成三个素数的和"，即"哥德巴赫-维诺格拉多夫定理"。不外维诺格拉多夫无法给出"充实大"的下限，所以找到这一下限便成为了弱哥德巴赫意料研究的紧张方向。2013年秘鲁数学家哈洛德·贺欧夫各特（Harald Andrés Helfgott）乐成将维诺格拉多夫"充实大"的下限缩小至10的29次方左右，通过盘算机验证在此之下的全部奇数，效果无一破例都符合意料，从而终极完成了弱哥德巴赫意料的证实[11]。
维诺格拉多夫（左）与哈洛德·贺欧夫各特（右）。伊万·马特维耶维奇·维诺格拉多夫，苏联分析数论专家，斯捷克洛夫数学研究所所长。哈洛德·贺欧夫各特，秘鲁数学家，法国国家科学研究院和巴黎高等师范学院研究员。
相比力而言，强哥德巴赫意料的研究困难相对更大。不外二十世纪上半叶以来，数学家依照布朗筛法的研究思路，也取得了长足的渴望。在布朗证实"9+9"后不久，1924年德裔美籍数学家拉德马赫（Hans Adolph Rademacher）乐成证实了"7+7"[12]，1932年德国数学家埃斯特曼（Theodor Estermann）证实了"6+6"[13]，苏联数学家布赫希塔布（Alexander. A. Buchstab）于1938年和1940年证实了分别证实了"5+5"与"4+4"[10]。
布朗筛法较以往的数论方法而言有很强的组合数学特性，应用起来比力复杂。所以在研究的过程中，数学家不绝对原有的筛法举行改进。思量到以往的证实中，总是将命题"a+b"与对一个筛函数的估计直接接洽起来，得到的效果相对较弱。1941年，库恩（P. Kuhn）提出了"加权筛法"，借此我们可以在同样的筛函数上、下界估计的底子上得到强效果。比方库恩于1954年就给出了"a+b<7"[8]，即每个偶数都可以写成两个数之和，使得它们各自的素因数个数加起来的总和小于7。而1950年前后挪威数学家阿特勒·塞尔伯格（Atle Selberg）提出的"塞尔伯格筛法"[15]则使得哥德巴赫意料的研究进步了一大步。塞尔伯格使用求二次型极值的方法极大地改进了筛法，由此法可以得到筛函数的上界估计，团结布赫希塔布恒等式可以得到筛函数的下界估计。在此底子上，维诺格拉多夫、王元等数学家先后完成了"3+3"、"a+b"（a+b<6）以及"2+3"的证实[10]。
阿特勒·塞尔伯格，挪威数学家。研究方向涵盖分析数论，以及自守情势理论。得到1950年的菲尔兹奖和1986年的沃尔夫数学奖。亚历山大·布赫希塔布，苏联数论专家，以其对筛法的研究而著名。
以上的效果中，比力遗憾的是无法证实偶数分拆成的两个数中肯定有一个是素数。紧张缘故起因就在于要证实形如"1+x"的命题时，须要估计筛函数S(A,P,z)的上界和下界时，须要估计主项与余项，并证实余项相对于主项可以忽略。这有点类似圆法的思路。不外"1+x"的估计涉及到算术级数中素数分布的均值定理，须要使用较为复杂的分析数论本事。
最早取得突破的是匈牙利数学家阿尔弗雷德·伦伊（Alfréd Rényi）[16]。他率先定性地证实了命题"1+x"，但却没能给出x的具体值。而在这一范畴里，我国老一辈数学家取得了良好的效果。1962年潘承洞使用伦伊的思路乐成证实了"1+5"，同年王元指出潘承洞的结论实则可以推出"1+4"。
"中国分析数论学派"指以华罗庚为代表的数论学派，该学派对于质数分布与哥德巴赫意料作出了许多庞大贡献。华罗庚，中国科学院院士，美国国家科学院外籍院士。他是我国分析数论、典范群、矩阵多少、自守函数论与多元复变函数等范畴研究的创始人与奠定者，也是中国在世界上最具影响力的数学家之一。王元，中国科学院院士。他起首将分析数论中的筛法用于哥德巴赫意料的研究。潘承洞，中科院院士，以哥德巴赫意料的研究著名。他起首确定命题"1+x"中x的具体数值，并证实命题"1+5"和"1+4"成立。潘承彪，中科院院士，著名数论学家，潘承洞胞弟，亦是数论学家张益唐在北京大学时的研究生导师。
而使用筛法的最好效果是由我国数学家陈景润得到的。1966年，陈景润在《科学转达》上发表了有关"1+2"的证实，即"任何一个充实大的偶数都可以表现成两个素数的和大概一个素数及一个2次殆素数的和"[17]。换言之，对于任给一个大偶数N，总可以找到奇素数p',p''或p1,p2,p3，使得下列两式至少有一个成立：
1973年，陈景润给出了"1+2"的具体证实，同时改进了1966年研究的数值效果。是年4月，中国科学院主理的《中国科学》上，公开辟表了陈景润的论文《大偶数表为一个素数及一个不高出两个素数的乘积之和》[18]。在这一证实中，陈景润对筛法作出了庞大的改进，提出了一种新的加权筛法。因此"1+2"也被称为陈氏定理。上面仅仅是对于陈景润"1+2"证实思路的简单梳理，究竟上其证实过程非常繁琐，而且须要很高的技巧性。可以或许终极得出"1+2"的证实，陈景润无愧于数论大家之名。
陈景润，福建福州人，大学毕业于厦门大学数学系。1953年到1954年被分配至北京市第四中学任教，后被"停职回乡养病"。1954年，调回厦大任资料员，同时开展数论研究，次年继承助教。1957年9月，华罗庚安排把陈景润调入中国科学院数学研究所。1966年，证实了"1+2"（陈氏定理）。
陈景润厥后不绝改进自己的效果，从某种意义上来说已经将筛法的威力发挥到了极致。但很惋惜的是，陈景润的加权筛法要证实终极哥德巴赫意料（"1+1"）须要在加权筛中取x=2，而这将导致估计主项和余项变得难以实现。所以现在数学界的主流意见以为，终极证实哥德巴赫意料，还须要新的思路大概新的数学工具，大概在现有的方法上举行颠覆性的改进。但无论怎样，陈景润已经走在了哥德巴赫意料研究的最前沿。
哥德巴赫意料为国人所熟知，很大程度上要归功于当代作家徐迟的陈诉文学《哥德巴赫意料》[19]。在当时特别的汗青时期，这篇陈诉文学使整个社会为之一震，同时也推动了我国"陈诉文学"这一文学题材的繁荣。惋惜的是也正是由于这篇陈诉文学，使得不少没有受过正规数学练习的数学爱好者投入到哥德巴赫意料的"研究"之中。听说中科院在相称长的一段时间里，每年都会收到"几麻袋"的讨论或声称证实了哥德巴赫意料的来信来稿。而笔者写作本文的缘故起因之一，也是渴望大抵回顾和先容哥德巴赫意料与陈景润的"陈氏定理"。同时渴望读者可以多多少少相识"1+2"、"1+1"之类的命题的真正内在，而不至于望文生义，把哥德巴赫意料视为一道普平凡通的课后习题。
猜测：未完待续的观光
数学家与画家和墨客一样，是模式的创造者。——戈弗雷·哈罗德·哈代
比年来，数论这一学科的研究中央好像也在渐渐转移，哥德巴赫意料的研究热度相对上个世纪中叶也有所降落。不外数学家对于以哥德巴赫意料为代表的素数相关题目的研究从来没有制止。比力著名的有前面提到的黎曼意料以及孪生素数意料。回望哥德巴赫意料的发展历程，其发端好像是数学家心血来潮的妙想天开。究竟上许多汗青上台甫鼎鼎的意料皆是云云。
现在不少人谈数学而色变，不光对于平凡人，对于许多科技工作者来说也是如许，渴望费尽心机地绕开数学这匹"猛兽"。为此不少数学家绞尽脑汁，要找出数学和一样平常生存的种种接洽。
实在，一方面数学本就与天下的发展密不可分，另一方面快节奏的期间寻求"经世致用"本也未可厚非。只不外笔者此处更渴望从数学自己来对待其存在的意义。如哈代所言，"数学家与画家和墨客一样，是模式的创造者"，数学自己是有其美感存在的。数学界寻求真理的观光，就是发现和创造美的观光。中科院物理所的曹则贤老师曾在他的书里提到，"读数学、物理书和看小说一样，并非完万能看懂的就是好的"[2]。但愿本文的读者也不会被文中偶尔蹦出来的公式吓到，而是可以透过这些繁杂的演算得到属于自己的思索。
"人是一株会思索的芦苇。"没有了思索，人类终将失去存在的意义。
|
