A字型相似三角形的应用

源码 · 2024-9-27 22:16:09

前天，我给大家先容了相似三角形的概念，并利用相似三角形解了一道题。
本日，再先容一种特殊的相似三角形：A字型。紧张有三种：一是正A字型，DE//BC；二是斜A字型，∠1=∠B；三是母子型，截线段的一个点与三角形的一个顶点重合。
它们都有共同的结论：△ADE∽△ABC，AD/AB=AE/AC=DE/BC。
我们一起来看一道题。
如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G，若EF=EG，求CD的长。
我们来分析一下这道题，∠ACB=90°，EF⊥AC于点F，以是EF//DC，构成了一组正A字型相似三角形，△AEF∽△AFC。
可以推知：AE/AD=EF/CD。
由EG⊥EF交AB于点G，可知EG//AC。
假如我们过D点作DH//AC，就可得到另两组A字型相似三角形，△ADG∽△AEG和△BDG∽△BCA。
由△ADG∽△AEG，可推知AE/AD=EG/DG。
由于AE/AD=EF/CD，且AE/AD=EG/DG。可推知：EG/DG =EF/CD。
又由于EF=EG，可推知DG =CD。
由△BDG∽△BCA，可推知BD/BC=DG/CA。
变形后得到AC×BD=BC×DG。
由于AC=6，BC=12，CD=DG，BD=12-CD，上式可以变形为：6×（12-CD）=12×CD
可得CD=4。
这是我的解题步调，等待您有更轻便的方法。

A字型相似三角形的应用

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