时间复杂度与空间复杂度-o(1)、o(n)、o(logn)、o(nlogn)、斐波那契

源代码 · 2024-9-26 21:57:51

从广义上讲:数据布局就是指一组数据的存储布局。算法就是操纵数据的一组方法。数据布局和算法是相辅相成的。他们办理的是怎样更省、更快地存储和处理惩罚数据的题目，因此，我们就必要一个考量服从和资源斲丧的方法，这就是复杂度分析方法。复杂度分析又分为：时间复杂度和空间复杂度。
一、时间复杂度

1、时间复杂度体现法

大 O 时间复杂度体现法。大 O 时间复杂度实际上并不具体体当代码真正的实行时间，而是体当代码实行时间随数据规模增长的变革趋势，以是，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。

T(n) 体当代码实行的时间；n 体现数据规模的巨细；f(n) 体现每行代码实行的次数总和。由于这是一个公式，以是用 f(n) 来体现。公式中的 O，体当代码的实行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。
2、时间复杂度分析：

1）  只关注循环实行次数最多的一段代码
2）  加法法则：总复杂度便是量级最大的那段代码的复杂度。
时间复杂度的概念来说，它体现的是一个算法实行服从与数据规模增长的变革趋势，以是不管常量的实行时间多大，我们都可以忽略掉。由于它本身对增长趋势并没有影响。
3）  乘法法则：嵌套代码的复杂度便是嵌套表里代码复杂度的乘积 Eg: 嵌套循环。
（时间复杂度和空间复杂度不必要思量系数，它是关于n的函数，用来形貌数目级；固然个别情况时，不可以忽略，如比力几个排序算法优劣时，此处不多赘述。）
3、几种常见时间复杂度

时间复杂度形貌O(1)常数复杂度O(log n)对数复杂度O(n)线性时间复杂度 forO(n2)平方 for forO(n3)立方 for for forO(kn)指数O(n!)阶层1）Ο(1)

只要代码的实行时间不随 n 的增大而增长，如许代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。大概说，一样寻常情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，纵然有成千上万行的代码，当时间复杂度也是Ο(1)。
2）O(logn)

i=1;
while (i <= n) {
i = i * 2;
}

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我们只要知道 x 值是多少，就知道这行代码实行的次数了。通过 2x=n 求解 x。x=log2n，以是，这段代码的时间复杂度就是 O(log2n)。

i=1;
while (i <= n) {
i = i * 3;
}

这段代码的时间复杂度为 O(log3n)。
log3n =log32 * log2n，log32 是一个常量。因此，在对数阶时间复杂度的体现方法里，我们忽略对数的“底”，同一体现为 O(logn)。典范应用二分查找n个数中找到指定值，复杂度 O(logn)，一维有序矩阵的二分查找 O(logn)。
3）O(nlogn)

如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环实行 n 遍，时间复杂度就是 O(nlogn) 了。而且，O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)，全部排序算法最优的就是O(nlogn)。
4）O(n)

for (; i < n; ++i) {
}

典范应用，单层for循环是O(n)，二叉树遍历 O(n) ，二维有序矩阵的二分查找 O(n) ，深度优先遍历(DFS)和广度优先遍历(BFS)是O(n) 。如果for循环并列，相称于o(2n)不关心系数，还是o(n)。
5）O(m+n)、O(m*n)

int cal(int m, int n) {
int sum_1 = 0;
int i = 1;
for (; i < m; ++i) {
sum_1 = sum_1 + i;
}
int sum_2 = 0;
int j = 1;
for (; j < n; ++j) {
sum_2 = sum_2 + j;
}
return sum_1 + sum_2;
}

m 和 n 是体现两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，以是我们在体现复杂度的时间，就不能简朴地利用加法法则，省略掉此中一个。以是，上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。
6）O(n2)、O(n3)

典范的嵌套for循环，冒泡排序都是O(n2)，三层for循环O(n3)。
7）O(kn)

指数级。k为常数可以是2n，3n，4n……。
典范的应用斐波那契数列(递归函数)。

斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是如许一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……它背面的一个数是前两个数之和。在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法界说：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）。
即：
int fib (int n){
if(n<2) return n;
return fib(n-1)+fib(n-2);
}

递归的时间复杂度分析：可以假设n为一个符合的比力小的值，画递归树进行分析。

总结点数=斐波那契实行次数。eg:fib(5)总结点数便是前三层总结点数加上最底层2个节点数，fib(5)=23-1+2=9。
二叉树的层数（高度）是 n - 1，以是递归树总结点数便是高度-1层（也就是n-2层）全部节点数加上最底层2个节点。
即fib(n)=2(n-2)-1+2=2(n-2)+1，以是T(n)=O(fib(n))=O(2n).。

【增补】主定理，用于办理怎样盘算全部递归函数的时间复杂度：主定理（英语：master theorem）提供了用渐近符号（大O符号）体现许多由分治法得到的递推关系式的方法。
分治法的英华：

分--将题目分解为规模更小的子题目；
治--将这些规模更小的子题目逐个击破；
合--将已办理的子题目归并，终极得出“母”题目的解；

8）O(n!)

典范应用求有N个元素的全分列的算法。
4、时间复杂度曲线区别分析

Eg:盘算1+2+3+......+n;
方法一：从1到n循环累加；
y=0;
for (int i=1; i < n; ++i) {
y+=i;
}
方法二：用公式 n(n+1)/2

方法一时间复杂度O(n) 方法二时间复杂度O(1)，雷同效果代码差异导致时间复杂度差距很大，从曲线图中能看出，尤其当n越大，影响越显着。（以是平常开发代码要优化）。
二、空间复杂度

1、空间复杂度概念

渐进空间复杂度（asymptotic space complexity），体现算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。也是O体现法。
2、常见的空间复杂度

我们常见的空间复杂度O(1)、O(n)、O(n2 )，像 O(logn)、O(nlogn) 如许的对数阶复杂度平常都用不到。
一维数组空间复杂度 O(n)。
二维数组展开n*n 空间复杂度即O(n2）。
3、空间复杂度分析

空间复杂度的分析：数组的长度，递归的深度。

Eg1:
void print(int n) {
int i = 0;
int[] a = new int[n];
for (i; i <n; ++i) {
a = i * i;
}
for (i = n-1; i >= 0; --i) {
print out a
}
}

跟时间复杂度分析一样，我们可以看到，第 2 行代码中，我们申请了一个空间存储变量 i，但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，以是我们可以忽略。第 3 行申请了一个巨细为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，以是整段代码的空间复杂度就是 O(n)。

Eg2:经典的爬楼梯题目：
输入台阶层数，求一共多少走法，每次可以爬一个台阶，也可以爬两个。
思绪：n级台阶的走法=先走一级后，n-1级台阶走法+先走二级后，n-2级台阶走法。即f(n)=f(n-1)+f(n-2)。
方法一：递归写法

时间复杂度O(2n），树形递归的巨细为2n。
空间复杂度为O(n)，树深度最大n。
方法二：用数组中心转换

时间复杂度O(n），单循环到n。
空间复杂度为O(n)，dp数组用了n的空间。
方法三：变量中转

时间复杂度O(n），单循环到n，必要盘算第n个斐波那契数。
空间复杂度为O(1)，利用常量级的空间。

时间复杂度与空间复杂度-o(1)、o(n)、o(logn)、o(nlogn)、斐波那契

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